Родился 21 марта 1903 года в деревне Старенково ныне Мценского района Орловской области в крестьянской семье. Русский. Член ВКП(б) с 1925 года.
С 10 лет батрачил на кулаков в селе. В январе 1919 года добровольцем вступил в Красную Армию, был назначен каптенармусом хозроты 8-го стрелкового полка, участвовал в обороне Петрограда от войск белой Северо-Западной армии генерала Н.Н. Юденича. Затем служил на Орловских командную курсах, в 1921 году участвовал в подавлении крестьянского восстания под руководством А. Антонова в Тамбовской губернии. После окончания Гражданской войны в 1921 году демобилизован из РККА. Окончил Ленинградский институт красной профессуры в 1933 году.
С 1933 года — проректор по учебной части Высшей коммунистической сельскохозяйственной школы в Новосибирске, затем там же — декан факультета партийного строительства, заведующий кафедрой экономики. С 1939 года — заведующий кафедрой марксизма-ленинизма Новосибирского высшего сельскохозяйственного института. Доцент.
В Красной Армии с августа 1941 года. В действующей армии с декабря 1941 года. С 1942 года был агитатором политотдела 615-го стрелкового полка 167-й стрелковой дивизии 38-й армии Воронежского фронта, участник Воронежско-Кастроненской, Харьковской наступательной и Харьковской оборонительной операций 1943 года. Летом и осенью 1943 года старший инструктор по политработе политотдела 167-й стрелковой дивизии А.А. Старых отличился в освобождении Левобережной Украины (в том числе в боях за города Сумы, Ромны).
Заместитель командира 520-го стрелкового полка по политической части (167-я стрелковая дивизия, 38-я армия, 1-й Украинский фронт) майор Старых А.А. в начале октября 1943 года с полком форсировал реку Днепр у села Вышгород (ныне город Киевской области Украины). 520-й стрелковый полк захватил и удерживал плацдарм, а в период с 3-го по 5 ноября 1943 года участвовал в боях за столицу Украинской ССР — город Киев.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 января 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом геройство и мужество майору Старых Алексею Алексеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 2444).
Отважному комиссару не суждено было встретить День Победы. В феврале 1945 года он тяжело заболел. Лечился в Главном военном госпитале Красной Армии в Москве. Скончался 24 апреля 1945 года. Через несколько дней тело было кремировано. Прах покоится на Северном кладбище города Санкт-Петербург.
Награждён орденами Ленина (10.01.1944), Отечественной войны 2-й степени (18.10.1943), Красной Звезды (27.06.1943).
Бюсты Героя Советского Союза А.А. Старых установлены в городе Мценске Орловской области и в Новосибирском сельскохозяйственном институте, на здании которого, в память о Герое — мемориальная доска.